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お時間がある時にちょっとだけ楽しんで頂けたらな良いかなぁと思います。

モンティホール問題とは何なのか？

今回は確率についてのお話になります。私にとっては非常に興味深く直感に反するような現象でもありますので興味を持っていただける方も多いのではないでしょうか？

この問題は確率についての問題ですが数学者でも頭を悩ませた非常に難問と言われている問題です。

かいつまんで話をしたいと思います。

これからあるゲームの話をします。

A、B、C、 3つのドアがあります。

このうち一つが当たりの扉で豪華な景品がドアの向こうに隠れています。残りの二つの扉はハズレでそこにはゴミがあるとしましょう。（画像ではハズレが動物になってますが…）

あなたは一つの扉を選択することができます。見事景品を当てたらあなたはその豪華な景品を手にすることができます！

ただし途中で司会者が駆け引きを持ちかけるんですが、そこが問題とされているわけなんです。

ここからは思考実験として楽しんでみてください。

それではいってみましょう！

あなたは A の扉を選んだとします。次に司会者は残り二つのドアの内、不正解の扉を開きます。司会者は答えを知っていますので必ずゴミの扉を開くわけです。

仮に司会者は C の扉を開いたとしましょう！そこにはゴミがあります。

つまり豪華な景品がある扉は A か B ということになります。

そこで司会者はあなたに選んだ扉を変えてもいいですよと言うのです！

さぁ、あなたは選ぶ扉を変えた方がいいんでしょうか？それともそのままにしたほうがいいんでしょうか？

以上がゲームの内容になります。

問題は選ぶ扉を変えるべきかそのままにするべきかというところです。

誰でも豪華な景品は欲しいでしょうから、どうすれば豪華な景品を得られる確率が高まるかというところになります。

あなたならどうするか？

大半の人が選ぶ扉は変えないと答えるようです。

だってそうですよね？景品は A か B かどちらかにあるわけで確率は半々です。変えても変えなくても確率は変わりません。そう考えるはずです。また変えたとしても司会者の言いなりになり、もしハズレだったら何だか悔しいと言った思いもあるようです。

これが普通の人間の直感というものです。何も間違ってるようには思えません。

多くの数学者も直感に従い確率は半々だといったそうです。

しかし本当にそうなんでしょうか？

多くのことを端折って結論を先に言いますが、選ぶ扉を変えることによって当たる確率は2倍になるというのが正解だそうです。

え？と思うのが普通の直感でしょう。

しかし数学的に計算をすると確率は確かに2倍になるということが正しいそうです。

これは直感に反していますが証明がされていることのようですね！

確率が2倍になると言っても1/2の2倍ではないです。

そもそもこの問題は直感に反していますし文字だけで説明するのは非常に難しいのですがなるべく分かりやすく解説したいと思います。

三つの扉のどれかに当たりがあるので確率は1/3です。ここまでは問題ないでしょう。問題は司会者がハズレである C の扉を開きハズレの扉が一つ選択肢から外れます。

この C の扉も1/3の確率を持っていますがその確率が B の扉にたされると考えるのが正しい考え方のようです。つまり B の扉が当たる確率は2/3ということになります。A の扉は1/3の確率ですから A から B に変えることにより確率が2倍になるというわけです。

これを全て説明しようと思うと図で説明したりだとか、有り得る事象を全て検証して統計をとる事をしないと難しいですが、よくわからなくても一旦受け入れてみてください。

次の図を見ると少しは解りやすいかもしれません。

少し考え方を変えてみます。上図の見てください。

①扉1が正解なら景品をもらえます。

②扉2または扉3が正解なら景品をもらえます。

以上のルールだったらどちらを選びますか？

普通は②の方を選ぶと思います。なぜなら②の方が当たる確率が2倍だからです。

下の図を見ると扉が1つ開いてますね？動物になってますが、これはハズレです。この状態は初めのルールの時と同じ状況です。

どうでしょうか？選択を変える事により確率が2倍になる事がなんとなくわかってきたでしょうか？

私の説明では限界がありますので皆さんが納得できるような説明は到底できないのですが興味がある方はモンティホール問題などで検索して色々と調べてみてください。

とにかく上記のゲームのような状況があった時、あなたは選択を変えることが賢いという事がいえます！これだけは覚えておくと良いかもしれませんね！